初中学的自由落体速度公式怎么来的？根据加速度推导速度，你不得不知道的积分

要将加速度积分得到速度，我们可以使用积分的基本原理。加速度是速度随时间的变化率，因此我们可以通过积分来还原出速度的函数关系。

假设我们有一个加速度函数 a(t)，我们要求解对应的速度函数 v(t)。

加速度 a(t) 是速度 v(t) 对时间 t 的导数，表示为 a(t) = dv(t)/dt。

要将加速度积分得到速度，我们可以对上述方程两边进行积分。

∫ a(t) dt = ∫ (dv(t)/dt) dt

通过对时间 t 进行积分，右边的导数和积分互相抵消，我们得到：

∫ a(t) dt = ∫ dv(t)

现在我们可以将积分符号从右边移到左边，得到：

∫ a(t) dt = v(t) + C

其中，C 是积分常数。

这个结果表明，加速度 a(t) 在时间 t 的积分是速度函数 v(t) 加上一个常数 C。常数 C 的值取决于我们选择的起始条件。

如果我们有一个特定的初始速度 v₀，可以使用初始条件来确定常数 C 的值。假设在 t = 0 时刻，速度为 v₀，则我们可以将这个条件代入上述方程：

∫[0,t] a(t) dt = v(t) + C

如果我们假设 t = 0 时刻速度为零（v(0) = 0），那么常数 C 就为零。在这种情况下，方程简化为：

∫[0,t] a(t) dt = v(t)

通过对加速度函数进行积分，我们可以得到速度函数的表达式。

需要注意的是，以上的推导过程假设加速度函数 a(t) 是已知的。在实际问题中，我们可能需要根据物体的运动特性和所受的力来确定加速度函数，然后再将其积分得到速度函数。

下面我们将利用上面推导出来的公式来计算自由落体情况下的速度：

在自由落体运动中，物体受到重力的作用，其加速度恒定为重力加速度g。如果我们知道物体的初始速度为零，可以使用加速度积分来计算物体在不同时间点的速度。

根据之前推导的公式，速度v(t)的表达式：

∫[0,t] a(t) dt = v(t) + C

由于自由落体：加速度是常量g，初始速度是0，我们可以将积分公式简化为：

v(t) = ∫[0,t] g dt

对于常量g的积分，结果将简单地是gt。因此，我们可以得到：

v(t) = gt

这个方程表明，自由落体物体在时间t处的速度等于重力加速度g乘以时间t。这个结果也是物体在自由落体过程中的速度与时间之间的线性关系。

因此，这个例子展示了加速度积分得到速度的过程，推导出了自由落体时速度公式。